Opgave 1 – Primitiveren

Bereken de primitieve van de functie \(f(x)=\frac{1}{x \cdot \sqrt[3]{x}} + \frac{3}{x} \)

Opgave 2 – Primitiveren

Bereken de primitieve van de functie \(f(x)= 3^{2x-1}+ {}^3\log{(2x-1)} \)

Opgave 3 – Bewijzen

Toon aan dat \(F(x)= \frac{\sin{x}}{x} \) een primitieve is van \(f(x)=\frac{x \cos{x}-\sin{x}}{x^2} \)

Opgave 4 – Oppervlakte

Het vlakdeel \(V\) wordt ingesloten door de grafiek van \( f(x)=\ln{x} \), \( g(x)=1-\ln{x} \) en de lijn \(x=1 \). 

Bereken exact de oppervalkte van het vlakdeel \(V\).

Opgave 5 – Wentelen om de y-as

Gegeven zijn de functies \(f(x)=\frac{1}{4} x^2+2\) met \(x>0\) en \(g(x)= 22-\frac{1}{2}x\)

Het vlakdeel \(V\) wordt ingesloten door de y-as, de grafiek van f en de grafiek van g.

Bereken exact de inhoud  van het lichaam L dat ontstaat als V wentelt om de y-as.

Opgave 6 – Wentelen om de x-as

Gegeven zijn de functies \( f(x) = -x^2+4x \) en \( g(x)=ax \) met \(0<a<4 \).

Het vlakdeel \(V\) wordt ingesloten door de grafiek van f en de x-as. De grafiek van g deelt V in tweeën, \(V_1\) en \(V_2\). Door \(V_1 \) te wentelen om de x-as ontstaat lichaam \(L_1\). Door \(V_2 \) te wentelen om de x-as ontstaat lichaam \(L_2\).

Bereken met behulp van integreren voor welke a de inhoud van lichaam \(L_1\) gelijk is aan de inhoud van lichaam \(L_2\).

Opgave 7 – Modelraket

Een modelraket wordt omhoog geschoten. In de eerste drie seconden ondergaat hij een versnelling van \( a(t)=20t\). 

Hierna valt het motortje uit en ondervindt de rakket een versnelling van \(-10\) \(m/s^2 \).

a. Op het hoogste punt heeft de raket een snelheid van \(0\) \(m/s \). Bereken de maximale hoogte van de raket.

b. Bereken met welke snelheid de raket op de grond komt.